他出生音乐世家，宣称证明了上帝的存在，无数次被送进精神病院，却成为现代数学的奠基人

发布时间：2025-05-28 16:27:00  浏览量：4

格奥尔格·康托尔（1845—1918）于1883年写下这样的名句：“数学的本质在于它超然的自主性。” 在数学家中很少有人如此彻底地信奉这个原则，也很少有人像康托尔那样如此从根本上改变了这门学科的性质。Joseph Dauben在对康托尔著作的研究中，把他描绘成“数学史上最富于想象力的和最有争议的人物之一”。在这一章，我们要证实这种评价为什么说是公允的。康托尔出生在一个音乐世家，在他的性情中，更多的是浪漫的艺术家那一面，而不是务实的技术专家这一面。他从事的研究工作最终使他超越数学领域而进入形而上学和神学的疆界。他提出了很多惊世骇俗的论断。例如，他声称莎士比亚的真作是弗朗西斯·培根写成的；再有，他认定自己关于无穷性的理论证明了上帝的存在。康托尔坚定不移地鼓吹这样一些信念，使他走上一条疏远支持者和助长反对者的道路。与此同时，他在生活中也遇到麻烦。他曾一次又一次地遭受严重抑郁症的折磨，以至最后酿成反复发作的躁狂抑郁症，使他丧失一向追求的“精神活力”。康托尔一次又一次地被送往人们通常所说的神经病院，在那里接受他们提供的治疗。康托尔于1918年病逝在一家精神病医疗机构，走完了他郁郁寡欢的人生路。这样的坎坷无损于康托尔在数学上取得成功。尽管遭遇不幸，他依然彻底改变了这门学科，而数学的自主性是康托尔情有独钟的。来源 | 《微积分的历程：从牛顿到勒贝格》作者 | [美] William Dunham译者 | 李伯民 汪军 张怀勇01实数的完备性青年时代的康托尔就读于柏林大学，成为魏尔斯特拉斯的门生。在学习期间，他于1867年写了一篇关于数论的专题论文，这是一个完全不同于后来使他闻名于世的领域。他的研究工作把它引向傅里叶级数并且最终转到分析学的基础理论。正如我们所知，19世纪把微积分的研究直接建立在极限的基础之上。这时已经清楚地看到，极限本身要依赖于实数系的性质，其中最为重要的一个性质就是我们现在所说的完备性。如今，学生们可能接触到以不同形式表达的实数的完备性，然而它们在逻辑上是等价的，例如：C1 任何有界的非减序列收敛于某个实数；C2 任何柯西序列存在极限；C3 任何具有上界的非空实数集有一个上确界。对于需要快速回忆的读者，我们提醒一下，一个柯西序列{xk}是指对于每个ε > 0，存在一个正整数N，只要m和n是大于或者等于N的正整数，就有。换句话说，柯西序列是这样一种序列，它们的项之间变得越来越接近并且保持下去。我们在第6章简要地陈述过这种思想。同样，称M为一个非空集合A的上界，是指对于A中的所有元素a，有a≤M；称λ为A的最小上界或者上确界，是指(1) λ是A的一个上界，(2) 如果M是A的任意上界，那么λ ≤M。对于这些概念，任何一本数学分析教科书中都介绍过。还有一种用区间套术语定义的完备性，它在下面几章中将扮演一个重要角色。此外，为了阐明接下来做什么工作，我们需要几个定义。一个闭区间[a, b]嵌套在[A, B]内，是指[a, b]是[A, B]的一个子集。这无异于说满足条件A≤a≤b≤B。我们进一步假定存在一个有界闭区间的序列，其中每个区间嵌套在它前面那个区间内，如像[a1, b1] ⊇ [a2, b2] ⊇ [a3, b3] ⊇…⊇ [ak, bk] ⊇…。这样一个区间序列称为递减序列。利用这种序列我们可以引进实数完备性定义的另外一种形式：C4 任何有界闭区间的递减序列必定有同属于所有区间的公共点。值得回顾一下，为什么我们讨论的区间必需同时是闭区间和有界区间。请看，闭区间（但不是有界区间）的递减序列是超越数。为了证实超越数的存在，刘维尔不懈地努力并且找到了一个超越数。康托尔通过完全不同的方法达到同一目标。他早在1874年发表的论文中就曾许诺“对刘维尔首次证明的定理给出一个新的证明”，无疑他实践了自己的诺言。然而，正如我们所见，在他的论证中没有包含一个特定超越数的例子。这显然是一种非直接的证明。为了对比这两种证明方法，我们用在一个干草堆中寻找一根针来作类比。我们可以想象，极端勤劳的刘维尔，穿上他的旧衣衫，徒步来到田间，在炎炎烈日之下围绕干草堆四处翻腾。几个小时过去了，他汗流浃背，逃避的猎物——一根针突然刺痛了他的手指。相形之下，康托尔则从容不迫，躲在屋子里运用纯粹的逻辑推理方法，证明干草堆的质量超过其中干草的质量。他由此推断干草堆中一定还隐藏着别的东西，就是说，质量的超出是由一根针引起的。不像刘维尔那样，康托尔依然凉爽如初和一尘不染。有些数学家受到一种非结构性证明的困扰，这种证明依赖于无穷集合的性质。同刘维尔所做的冗长论证相比，康托尔的证明则显得过于容易，几乎像变戏法一样。年轻的伯特兰·罗素（1872—1970）对于康托尔的思想作出的第一反应，在数学家当中也许不是绝无仅有的。他在其自传中写道：我曾经花费很长时间研究格奥尔格·康托尔的论文，并且把他论述的各种要点记到一个笔记本中。那时，我错误地认为他所作的全部论证在逻辑上是谬误的。尽管如此，我仍然从最微小的细节上深入考察了他的全部证明。后来，当我发现所有谬误竟然属于自己时，这反倒令我获益匪浅。像罗素一样，数学家们对于作为一位革新者的康托尔给予高度赞扬。他在1874年发表的那篇论文开创了分析学的一个新时代，其中集合论思想在应用上同魏尔斯特拉斯发明的ε - δ 方法并驾齐驱。康托尔的工作取得许多重要结果，其中不少确实令人惊叹。例如，很容易证明，如果代数数和超越数都是可数的，那么它们的并集，即全体实数的集合，必然也是可数的。由于这个结论是不正确的，康托尔由此识破超越数构成一个不可数的集合，因此在数量上远远超过它们的“表亲”代数数。对于这两种数的多寡之分，Eric Temple Bell给出这样的描述：“代数数犹如镶嵌在长空夜幕下的点点繁星，而浓黑的万里长空则是超越数的苍穹。” 这是一种令人陶醉的难以想象的感受，因为充足的数似乎是稀疏的，而稀疏的数似乎是充足的。在一定的意义上，康托尔证明了超越数是干草堆中的干草而不是掉进草堆中的针。还有一个相关的但意义更深远的结果，那就是 “小”无穷集合同“大”无穷集合之间的区别。康托尔证明了，一个可数集尽管是无穷的，然而当把它和不可数集相比时，它的无穷性却是无足轻重的。随着他的思想的确立，数学家们逐渐认识到，在解决重要问题中，如此不值一提的可数集无疑是值得使用的。我们将会看出，小集合和大集合之间的对立也会出现在其他的分析学环境中。在19世纪初，勒内·贝尔发现了一种“大”与“小”的对比，这种分歧出现在他所说的集合的“类型”中，而亨利·勒贝格在他称为“测度”的度量中发现了另外一种对比。虽然基数、类型和测度是不同范畴的概念，但是它们都提供一种比较集合的手段，在数学分析中被证实是很有价值的。康托尔还致力于解决有关无穷集合的其他问题。其中之一是：“存在比区间的基数更大的不可数集吗？”关于这个问题他给出肯定的回答。另外一个问题是：“存在基数介于可数序列和不可数区间之间的一种无穷集合吗？”在解决这个问题时，他没有取得成功。由于康托尔的远见卓识和不断的研究，集合论迎来了它自身的发展时期，在这个阶段它完全脱离固有分析学所关注的问题。不过，这一切都源于1874年康托尔所写的那篇论文。同许多推翻历史的革命家不一样，康托尔在有生之年亲眼见到他的思想被广大学术界接受。一位最早的推崇者是上面提到罗素，他把康托尔描绘为“19世纪最伟大的知识分子之一”。这是出自一位数学家、哲学家和诺贝尔奖得主的非同寻常的赞誉。推荐阅读作者：[美] William Dunham译者：李伯民 汪军 张怀勇第七届文津图书奖推荐书目这不是一本数学家的传记，而是一座展示微积分宏伟画卷的陈列室汇聚了牛顿、莱布尼茨、伯努利兄弟、欧拉、柯西、黎曼等耳熟能详的数学大师经典卓著原标题：《他出生音乐世家，宣称证明了上帝的存在，无数次被送进精神病院，却成为现代数学的奠基人！》